Квадратні рівняння. Теорема Вієта - Розробки уроків - Творчі роботи студентів - Каталог статей - Персональный сайт
Неділя, 04.12.2016
Педагогіка
Меню сайта
Наше опитування
Ваше ставлення до кредитно-модульної системи
Всього відповідей: 2160
Адміністрація сайту не несе відповідальності за зміст матеріалів, розміщених у каталозі.

Квадратні рівняння. Теорема Вієта
Квадратні рівняння. Теорема Вієта
Мета: ввести поняття зведеного квадратного рівняння; довести теорему Вієта, ознайомити учнів з теоремою, оберненою до теореми Вієта; перевірити вміння учнів розв’язувати квадратні рівняння; розвивати логічне мислення, вміння аналізувати, порівнювати, робити висновки; виховувати інтерес до математики, самостійність, працьовитість.
Тип уроку: урок засвоєння нових знань
Обладнання: індивідуальні картки
Література:
Алгебра: підруч. для 8 кл. загальноосвіт. навч. закл./ Г.П. Бевз, В.Г Бевз. – К.: зодіак-ЕКО, 2008. – 256 с. : іл.
Ольга Хряпак « Квадратні рівняння. Теорема Вієта»// Математика. - №10. 2009. С. 19-21
Хід уроку
Організаційний момент ( 1 хв. )
Доброго дня.
Сідайте.
Перевірка присутності.
Перевірка домашнього завдання ( 1 хв. )
Якість виконання вашого домашнього завдання я перевірю, зібравши в кінці уроку зошити.
Актуалізація опорних знань ( 6 хв. )
Яку тему ми вивчали на попередньому уроці? Тож давайте пригадаємо:
1. Мозковий штурм
- Яке рівняння називають квадратним?
( Рівняння виду ах2+вх+с=0, де а≠0 називається квадратним рівнянням, в якому х – змінна, а,b, c - коефіцієнти )
- Як називають числа а, в, с?
(а,b, c - коефіцієнти ))
Які види квадратних рівнянь ви знаєте?
( повне, неповне, зведене)
- Яке рівняння називають неповним?
( Рівняння називається неповним, в якому один із коефіцієнтів ( b, c) дорівнюють нулю)
- Яку кількість коренів може мати неповне квадратне рівняння?
(1 або 2 корені)
- Запишіть формулу коренів квадратного рівняння.

- Як називають число D?
( Число D називається дискримінантом квадратного рівняння)
- Скільки коренів може мати квадратне рівняння?
( Квадратне рівняння може :
Не мати коренів коли D<0
Один корінь коли D=0
Два корені коли D>0)
2. Розв’язування вправ ( Робота з індивідуальними картками)

Картка №1
Розв’язати рівняння
3х2-7х+4=0
D=49-4*3*4=1
x_1=(7+1)/(2*3)=8/6=4/3
x_2=(7-1)/(2*3)=6/6=1
5х2-6х+1=0
D=36-4 * 5 * 1=16
x_1=(6+4)/(2*5)=10/10=1
〖 x〗_2=(6-4)/(2*5)=2/10=1/5

Картка №2
〖5x〗^2+125=0
〖5x〗^2=-125
x^2=-25 Немає розв’язків
(x+4)^2=2x+8
Розв’язання:
x^2+8x+16=2x+8
x^2+6x+8=0
D=36-4*1*8=4
x_1=(-6+2)/(2*1)=(-4)/2=-2
x_2=(-6-2)/(2*1)=(-8)/2=-4


Картка № 3
Розв’яжіть рівняння
3x^2-5x+2=0
Роз’язання
D=25-4*3*2=1
x_1=(5+1)/(2*3)=1
x_2=(5-1)/(2*3)=4/6=2/3
〖5x〗^2+14x-3=0
Розв’язання
D=196+4*5*3=256
x_1=(-14+16)/(2*5)=2/10=1/5
x_2=(-14-16)/(2*5)=-30/10=-3
Картка №4

1.〖9x〗^2-81=0
Розв’язання
9x^2=81
〖 x〗^2=9
x=±3
2.(x+2)^2=28-6x
Розв’язання
x^2+4x+4=28-6x
x^2+10x-24=0
D=100+4*28*1=196
x_1=(-10+14)/(2*1)=2
x_2=(-10-14)/(2*1)=-12

Повідомлення теми та мети уроку. Мотивація навчальної діяльності.
( 2хв. )
Темою нашого сьогоднішнього уроку є тема: Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Під час уроку ви ознайомитеся з поняттям зведеного квадратного рівняння, теоремою Вієта та теоремою оберненою до теореми Вієта
Чи повірите ви мені, якщо я скажу, що рівняння, які ви бачите на дошці , можна розв’язати усно? Не проводячи громіздких обчислень.
х2 – 8х + 12 = 0
2х2 + 8х + 15 = 0
Ось і в цьому нам допоможе теорема Вієта
Вивчення нового матеріалу ( 12 хв. )
Давайте з вами розглянемо такі рівняння:
x^2-6x+5=0
x^2+5x+6=0
x^2-9x=20=0
Що спільного ви помітили в цих рівняннях?
( Перший коефіцієнт дорівнює одиниці)
Квадратне рівняння називається зведеним, якщо перший його коефіцієнт дорівнює одиниці
Теорема Вієта: Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток – вільному члену.
Доведення:
Якщо рівняння x^2+px+q=0 має корені x_1 i x_2, то їх можна знайти за формулами:
x_1=(-p-√D)/2 i x_2=(-p+√D)/2 , D=p^2-4q - дискримінант рівняння
Додамо і перемножимо ці корені:
x_1+x_2=(-p-√D)/2 + (-p+√D)/2 =-p;
x_1∙x_2=(〖(-p)〗^2-〖( √D)〗^2)/4=(p^2-(p^2-4q))/4=q
Отже, x_1+x_2=-p ,x_1∙x_2=q . А це й вимагалося довести.
Кожне квадратне рівняння виду ах2 +bх+с=0 ( a≠0) рівносильне зведеному квадратному рівнянню x^2+b/a x+c/a=0. Тому якщо таке рівняння має корені x_(1 ) i x_2, то x_1+x_2=-b/a i x_1∙x_2=c/a
Теорема. Якщо сума і добуток чисел m i n дорівнюють відповідно –b i c , то m i n – корені рівняння〖 x〗^2+bx+c=0 .
Ця теорема є оберненою до теореми Вієта.
Історична довідка
Вієт Франсуа (1540—1603) — французький математик і юрист народився в м. Фонтеней.
Здобувши юридичну освіту, спочатку був ад¬вокатом, а згодом став радником французького короля Генріха IV. Незважаючи на велику служ¬бову завантаженість, Вієт з великим інтересом вивчав математику, присвячуючи цьому свій вільний час. Вієта по праву називають «батьком алгебри», бо завдяки його роботам вона стала наукою про алгебраїчні рівняння, в основу якої покладено символічні позначення.
Заслугою Вієта було те, що він першим почав позначати буквами не лише невідомі, а й дані величини, тобто коефіцієнти рівнянь. Це дало можливість записувати властивості рівнянь і їх коренів загальними формулами.
Відомі величини та коефіцієнти Вієт позна¬чав приголосними буквами b, с, d, а невідомі голосними а, о, е, ...
У житті Вієта був цікавий факт. Під час війни Франції з Іспанією іспанці використовували для свого листування складний шифр, який фран¬цузи ніяк не могли розгадати. Король Франції Генріх IV звернувся до Вієта з пропозицією роз-шифрувати іспанські листи. Після наполегливої роботи йому вдалося це зробити. Протягом двох років французи перехоплювали і прочитували таємні листи до іспанського двору. Це давало великі переваги французькому командуванню. Армія Франції завдала ряд поразок армії Іспанії. Іспанці зрозуміли причину своїх невдач і дізна¬лися, хто розшифрував їхній тайнопис. Іспанські інквізитори, які відзначалися особ¬ливою жорстокістю, вважали, що людині не під силу розкрити таємницю їхнього шифру, і звину¬ватили Ф. Вієта в спілкуванні з нечистою силою. Ф. Вієта було засуджено до спалення. На щастя, Генріх IV не видав його інквізиції.

Первинне засвоєння навчального матеріалу( 10 хв )
Робота з підручником
№999
Знайдіть суму і добуток коренів рівняння:
〖a) x〗^2-7x+10=0 ,x_1+x_2=7,x_1∙x_2=10
b) x^2-9x+14=0, x_1+x_2=9,x_1∙x_2=14
c) x^2-4x+2=0,x_1+x_2=4,x_1∙x_2=2
d) x^2-0,5x-1,5=0,x_1+x_2=0,5,x_1∙x_2=-1,5

№1000
Перевірте, чи є дані числа коренями рівняння:
а) x^2-8x+7=0, 1 i 7 б) x^2+8x+15=0, 3 i 5
x_1+x_2=8,x_1∙x_2=7 〖 x〗_1+x_2=-8,x_1∙x_2=15
1+7=8,1∙7=7 3+5≠-8,3∙5=15

в) x^2-12x-13=0, -1 i 13 г)x^2-6x+6=0, 3 i 3
x_1+x_2=12,x_1∙x_2=-13 x_1+x_2=6,x_1∙x_2=6
-1+13=12,-1∙13=-13 3+3=6,3∙3≠6
Виконання вправ з допомогою вчителя
№1006
Рівняння x^2+px+q=0 має корені 0,7 і 10. Знайдіть його коефіцієнти p i q.
Розв’язання
x_1+x_2=p,x_1∙x_2=q
0,7+10=10,7 0,7∙10=7

x^2-10,7x+7=0
№1007
Перевірити, чи є дані числа m i n коренями рівняння
а) 〖6x〗^2-5x+1=0,m=1/2,n=1/3;
Поділимо кожний коефіцієнт рівняння на 6:
x^2-5/6 x+1/6=0
m+n=5/6,m∙n=1/6
1/2+1/3=5/6, 1/2∙1/3=1/6
Отже, числа m i n є коренями рівняння

б)〖4x〗^2-4x-3=0,m=-1/2,n=1 1/2
Поділимо кожний коефіцієнт рівняння на 4:
x^2-x-3/4=0
m+n=1,m∙n=-3
-1/2+3/2=2/2=1, -1/2∙3/2=-3/4
Отже, число m є коренем рівняння, а n не є коренем рівняння
№1010
Знайдіть p i x1 , якщо:
a)x^2+px+25=0 i x_2=7
Розв’язання
x_1+x_2=p,
x_1∙x_2=25 →x_1∙7=25→x_1=25/7
p=25/7+7=(25+49)/7=74/7
Відповідь: p=74/7, x_1=25/7
б) x^2+px+21=0 x_2=-3
Розв’язання
x_1+x_2=p,
x_1∙x_2=21 →x_1∙(-3)=21→x_1=-21/3=-7
p=-7-3=-10
Відповідь: p=-10, x_1=-7

№1015
Один із коренів рівняння x^2-5x+c=0 дорівнює 3. Знайдіть с.

Розв’язання
За т. Вієта {█(x_1+x_2=-p@x_1∙x_2=q)┤→{█(x_1+x_2=5@x_1∙x_2=c)→{█(3+x_2=5@3∙x_2=c)→{█(x_2=5-3@3∙x_2=c)→{█(x_2=2@c=3∙2=6)┤ ┤ ┤ ┤
Відповідь: с =6.
Узагальнення та систематизація знань
Виконання вправ біля дошки з коментуванням ( 8 хв)

№1019
Один із коренів рівняння x^2+px+8=0 дорівнюють 1/2. Знайдіть другий корінь і коефіцієнт p.
Розв’язання
{█(x_1+x_2=-p@x_1∙x_2=8)→{█(1/2+x_2=-p@1/2∙x_2=8)→{█(1/2+x_2=-p@x_2=8∙2=16)┤ ┤ ┤→{█(p=1/2+16=-33/2@x_2=16)┤
Відповідь:x_2=16,p=-33/2
№1022
Складіть квадратне рівняння, корені якого дорівнюють:
а) 2/3 і 1 1/2 б)3/5 і -1 2/3 в) 2-√3 і 2+√3 г) (–2-√5)/3 і (-2+√5)/3

Розв’язання:
Скористаємося формулами Вієта █(x_1+x_2=-p@x_1∙x_2=q)
а) {█(2/3+ 3/2=-p@2/3 ∙3/2=q )→{█(-p=2/3+ 3/2=(4+6)/6=10/6@q=2/3 ∙3/2=1 )┤ ┤
Тепер складемо квадратне рівняння:
x^2-10/6 x+1=0.
Це рівняння з раціональним коефіцієнтом, а необхідно одержати цілі коефіцієнти. Для цього помножимо усе рівняння на 6: 6x^2-10x+6=0
Відповідь: 6x^2-10x+6=0
б){█(3/5- 5/3=-p@5/3 ∙(-5/3)=q )┤→{█(-p= 3/5- 5/3=(9-25)/15=-16/15@q=5/3 ∙(-5/3)=-25/9 )┤
Тепер складемо квадратне рівняння:
x^2+16/15 x-25/9=0. Помножимо це рівняння на 45:
〖45x〗^2+3∙16x-25∙5=0, 〖45x〗^2+48x-125=0
Відповідь: 〖45x〗^2+48x-125=0
в) {█(x_1+x_2=-p@x_1∙x_2=q)→{█(2-√3 + 2+√3=-p@(2-√3) ∙ (2+√3)=q)→{█(4=-p@( 4+2√3-2√3-3)=q)→{█(p=-4@q=1)┤ ┤ ┤ ┤
Тепер складемо рівняння
x^2+4x+1=0
Відповідь: x^2+4x+1= 0

г) {█((–2-√5)/3 + (-2+√5)/3=-p@(–2-√5)/3 ∙ (-2+√5)/3=q)→{█(-p=(–2-√5)/3 + (-2+√5)/3=(-2-√5-2+√5)/3=-4/3@q=(–2-√5)/3 ∙ (-2+√5)/3=(-4-2√5+2√5-5)/9=-1)┤ ┤

Складемо рівняння:
x^2-4/3 x-1=0. Помножимо це рівняння на 3: 3x^2-4x-3=0
Відповідь: 3x^2-4x-3=0

№ 1028
Різниця коренів рівняння x^2+6x+q=0 дорівнює 8. Знайдіть його корені та число q.
Розв’язання
x_2-x_1=8
За теоремою Вієта:
{█(x_1+x_2=-p@x_1∙x_2=q)┤
{█(x_1+x_2=-6@x_2-x_1=8)→{█(x_1+8+x_1=-6@x_2=8+x_1 )→{█(x_1=-1@x_2=8-1=7)┤ ┤ ┤
{█(-1+7=-6@-1∙7=-7)┤
Відповідь: █(x_1=-1@x_2=7), q=-7

Підсумок уроку ( 3 хв )
Фронтальне опитування
Яке рівняння називається зведеним квадратним рівнянням?
(Квадратне рівняння називається зведеним, якщо перший його коефіцієнт дорівнює одиниці)
Якому вченому була присвячена сьогоднішня тема уроку?
( Франсуа Вієт )
Як перейти до зведеного квадратного рівняння?
( потрібно коефіцієнти b i c поділити на коефіцієнт а )
Назвіть формулу теореми Вієта
█(x_1+x_2=-p@x_1∙x_2=q)
Домашнє завдання ( 1 хв )
Опрацювати §21. Вправи №1008,№1011, №1016,
Оцінювання та мотивація ( 1хв)
Виставляються та обґрунтовуються оцінки

Категорія: Розробки уроків | Добавил: darya-kholod (23.03.2011) | Автор: Дарія Холод
Переглядів: 16645 | Коментарі: 2 | Рейтинг: 4.2/12 |
Всього коментарів: 0
Ім`я *:
Email *:
Код *:
Форма входу
Логін:
Пароль:
Пошук
Друзі сайту
Статистика

Онлайн всього: 5
Гостей: 5
Користувачів: 0
Copyright Стеценко Н.М. © 2016
Сайт управляється системою uCoz